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その11:そこに落とし穴が、、、
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問題 設問11 3リットル(リットル) 入りの容器が1個、5リットル入りの容器が1個ある。水はいくらでも使えるものとして、正確に4リットルの水の量を量るにはどうすればいいか。

設問11
 考えもしなかったような、あるいは解答を知ってびっくりといったこれまでの問題に対して、これは比較的ストレートでまともな問題という印象を受けます。したがって解答もすぐにわかったという方もおられるのではないでしょうか。が、それはおそらく頭の中で水の出し入れを想像しながら解かれたものと思います。そこに落とし穴があります
 問題は、バケツの容量である3と5の足し算や引き算によって「4という解」を求めよ、と言っているわけですが、これを分かり易くするために、数式にして考えてみます
 設問では「水はいくらでも使えるものとして」とありますので、3や5は何回使ってもいいことになりますから、まず3+3+3+3+3+3+3+3−5−5−5−5=4などを思いつきます。でも、それぞれの容器は最終的に1個しかありませんから、このような方法には限度があります。
 ではどうするか。バケツという現実を離れて視点を変えてみます。目的である4に焦点を置いて、3あるいは5から4を作るには、と数字だけを考えてみるのです。これは、数学というよりも算数の問題で、小学生でもすぐにその式を答えられます。3+1=4あるいは5−1=4というシンプルな2つの式です。
 ここでよ〜く考えれば、もしもここに出てくる1を何らかの方法で作り出すことができたら、これらの式を使って4という解答が簡単に得られるということです。しかもこれによって解答は2つ出てきそうだということもわかります

方法1

 では+1を作るにはどうするか。3と5を最少回使うならば3+3−5=+1です。この式の意味していることは、3リットルのバケツに水を2回汲んで5リットルのバケツに注げば、3リットルのバケツに1リットルの水が残るということです。これで1リットルの水が作り出せましたから、前述の式3+1=4にしたがって手順を踏んでいけばいいだけです。
 つまりこの3リットル容器にできた1リットルを、空にした5リットル容器に注ぐ。さらにもう一度3リットル容器をいっぱいにして、すでに1リットルの水が入っている5リットル容器に注げば、合計4リットルの水ができます。

方法1

方法2

 この解答は、2つの式3+1=4と5−1=4のうち、前者を使いましたが、ここで重要なのは、前者の+1は実際の1リットルであり、後者の−1とは何か、それは空き部分の1リットル、つまりマイナス符号を「空き」と考えてみることです。
 再び3や5を最少回使い、算数の式にして−1を作るならば、5−3−3=−1です。そしてこの式の中でマイナスとなっているところを「空き」と考えるのです。
 この式は(5−3 )−3=−1となりますが、これをバケツの問題にして、5−3の意味を、満タンの5リットルの容器から、「空き」の3リットルの容器に水を満タンになるまで注ぐ、と考えます。その結果2リットルの水が残るわけですが、次に残る計算2−3=−1の意味を、この残った2リットルの水を「空き」の3リットルのバケツに注げば、3リットルのバケツには1リットルの「空き」ができると考えるわけです。
 この1リットルの空きを利用すれば、もう解けたも同然で、最初に戻って5−1=4の式が、即、使えることがわかります。つまり、この式が示すように、5リットル容器にいっぱい入った水を、1リットルの空きができた3リットル容器に注げば、5リットル容器には1リットルの空きができて、残る水が目的の4リットルになるというものです。
 さらにこちらの「空き」を考えた解答ステップ数のほうが、前者の解答までのステップ数より少ないことにもお気付きになるものと思います。


方法2

 さて、落とし穴とは何か。面倒な式など使わなくても、ちゃんと解けたという方も多いと思いますが、落とし穴とは、ピカピカの解答が2つあるということです。頭の中で解いた方は、おそらくは1つだったのではないでしょうか。
 頭の中で考えるにしても、このように式を立ててみることにより、片手落ちになることは避けられるという教訓がこの設問の背景にあるということです。


正解 正解11 
 
     解答1.   3リットル容器をいっぱいにして、それを5リットル容器に注ぐ。3リットルの容器をもう一度いっぱいにして、その5リットル容器がいっぱいになるまで注ぐ。そしてその5リットル容器を空にする。3リットル容器には1リットル残っているので、それを空になった5リットル容器に注いでしまう。そしてもう一度3リットル容器をいっぱいにして、その3リットルを1リットル残っている5リットル容器に注げば、4リットルの水ができる。
 
    解答2.   5リットルの容器にいっぱい水を入れる。次にそれを空(カラ)の3リットル容器に、いっぱいになるまで注ぐ。今度はそのいっぱいになった3リットル容器を空にして、そこに5リットル容器に残っている2リットルの水を注ぐ。そして空の5リットル容器をもう一度いっぱいに水を入れてから、それを1リットルの空きができている3リットル容器がいっぱいになるまで注ぐと、5リットル容器に4リットルの水ができる。

 では、出題背景を考えながら次のビル・ゲイツの設問を解いてください。

問題 設問12 マイナス二進法で数をかぞえよ。

 これはこれまでの問題と違い、今日のコンピューターが成り立っている二進法と関連するれっきとしたコンピューター原理を学ばせるような問題で、いかにもビル・ゲイツの考えそうな設問です。

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 ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? (Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. )By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。
 また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。

執筆者紹介


執筆者 梶谷通稔
(かじたに みちとし)

テレビ出演と取材(NHKクローズアップ現代、フジテレビ、テレビ朝日、スカパー)

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