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その52 常に深くスマートな論理思考力で
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 設問49の「50組の夫婦」の問題と、前回の「海賊による100枚の金貨配分」の問題では、1人の人間から見て、「自分以外の人たちはどう考えるか」を見る手法、つまり「他の人間の思惑」を考える論理手法により解答を導き出すことができました・・・がしかし、前回の回答を見て「へんだぞ?」と疑問に思った方はいませんでしたか?

 マイナス二進法の設問12や、両皿天秤で軽い硬貨を特定する設問33、そして鏡の左右逆転理由を問う設問36で、皆さんの地頭力思考がどのように働きどこまで進んでいたか、時間を置いたあとで振り返ってみていただくために、そこでの説明を意図的に控え、それぞれその次の回の「その13」「その34」「その37」で突っ込んだ解説をしました。
 まさしく前問も同様な意図を試みたものです。では、どこがどうなのか。実は、設問自体を私が少し変えたのです。

 本来の設問の原文は次のようなものです。
「ある島で5人の海賊が100枚の金貨持っていて、それを次の規則で分けようとしている。上位の海賊が分け前を提案し、全員で投票をする。少なくとも半分の海賊がその案に賛成票を入れれば、金貨はその分け方で分ける。賛成票が足りなければ、当の上位の海賊を殺し、やり直す。生き残った一番上位の海賊が自分の分割案を出し、同じ規則で投票して金貨を分けるか、その海賊を殺すかのどちらかをする。1つの案が認められるまでこの手順を続ける。自分が上位の海賊だとして、どんな分け方を提案するか。海賊は皆、きわめて論理的かつ貪欲で、またみんな死にたくはない」


5人の海賊

 変えたポイントは「全員で投票する」というところを、「残りの海賊はこのプランに投票する権利があり・・・」と、表現を少し変えてみた部分です。
 皆さんはどのように読み取られたでしょうか。「へんだぞ?」と感じた方たちは、「残りの・・・」と言っているのに、なぜ全員投票の解答なのか、そこに疑問を持たれたものと思います。
 この本来の問題は、マイクロソフト社だけでなく、ニューヨークのソフトウエア会社やコンサルタント会社などで出題されていて、今やPirate gameとして英文Wikipediaにも紹介されているように、パズルマニアの間ではかなり広く知られており、それらはすべて全員参加の投票が前提になっています。

 したがって、過去、これと類似した問題に慣れていた方たちや、あるいはおぼろげながらその残る記憶から全員投票と解釈して当設問に取組んだ人たちのことを考えたのが1つと、またこれからご説明する新たな解答と比較対照していただけるならばと、あえてこのオリジナルをベースにした基本的な解き方・道筋を、まずは前号でご披露したわけです。そして皆さんにはもう少し深く考えてみていただく機会にしようと、そのヒントの意味で表現をそっと変えてみたわけです。
 提案者自身が出した案には、当然その提案者本人は賛成します。そんなことはわかりきったことですから、提案者を除いたもう少しスマートな設問にしてみたらどうなるか、実は全員投票ではなく、人数を減らした残りの海賊の投票だけでも、同じような論理手法で解けるのです。
 この種のスマートさは、重さの違う玉の入った5個の箱全部を調べなくても、4個の箱で充分わかるという設問17でも体験していただきました。

 マンホールの蓋やビール缶のすぼみの問題など、ビル・ゲイツは物事を常日頃注意深く見ているかどうか、そこを試す設問もよく出題しますが、当設問のオリジナルを知っていた人たち、あるいは知らなかった人たちも含めて、皆さんの中には設問を注意深く読み、提案者を除いたケースで回答を試みた方たちも多くおられたかと思います。
 設問26のアリの問題もそうでしたが、実際、これらはいずれも面接試験の場で出される問題なので、もしも設問の内容にあいまいだと感じるところやはっきりさせたい、あるいは何らかの疑問があるときは、面接官に確認を取ってから前に進むことです。そのための面接の場です。

 それでは残りの海賊だけの投票による解答です。この内容で解答を試みられた方たちの中には、最後の答を見て「しまった」と思われる人もあるかもしれません。もちろん正解は全員投票の場合と違ってきますが、金貨分配の条件はまったく同じで、賛成投票が半数およびそれ以上なら提案者は殺されず、また提案者がより多くの金貨を獲得できるような分配の方法を求めるというものです。
 ここで海賊の上位から順にA、B、C、D、Eとし、それぞれの海賊の受け取る金貨の枚数を括弧内に示します。

2人の場合

 最初の突破口・糸口としては、やはり前回同様、極端に人数を減らしたDとEの2人だけの場合から考えます。この場合、残りの海賊はEだけですのでEの意のままで決まりますから、D(0)、E(100)の内容で決着です(2人の場合)。ここで重要なのは、Eがたとえ金貨100枚全部もらっても、もしも彼が反対したらDは殺されるという境遇にあるということです。

 これではDはたまりませんから、Cが生き残るような投票をしようとするはずです。
 そこで「他の人間の思惑」を考える論理で、Cは「Dは殺されずにとにかく生き残るためにはどんな提案でも賛成投票をするはずだ。一方、Eは逆に自分Cがいないほうが全金貨を独占できるので、どんな提案でも反対投票するはずだ。だからどんな提案にしても一方は賛成で、一方は反対する」と考えます。したがって、Cの提案はC(100)、D(0)、E(0)です(3人の場合)


残りが、3人の場合 残りが、4人の場合

 結果、3人だけが残るようになったらこれでお終いになります。だからDやEは、1枚でも金貨にありつけるよう、3人だけにならないための投票を考えることになるはずです。
 そこでこのDとEの思惑を考えるBは、2人の賛成を得るために、DとEにとって少なくとも前述3人の場合よりは得になるD(1)、E(1)を提案することになります。つまりB(98)、C(0)、D(1)、E(1)です(4人の場合)
 この場合、最も不満を抱くのはCであり、Cは4人だけにならないよう5人の場合の投票を考え、またDやEももっと金貨にありつけられればという機会を狙っているはずです。


5人の場合の「分け前」提案結果

 そこで5人の場合のAは、このCの賛成を得る手立てとともに、さらにもう1人の確実な賛成票をもくろむことになります。そのもう1人とはDかEのどちらかの買収ですが、4人の場合の分配としてB(98)、C(0)、D(1)、E(1)でしたから、DもEも同じ状態なので同じ条件で動くはずです。
 したがってAの提案は、CとDの賛成を得るためのA(97)、B(0)、C(1)、D(2)、E(0)か、または CとEの賛成を得るためのA(97)、B(0)、C(1)、D(0)、E(2)の2通りで、この提案によって上位のAは生き残れるとともに、97枚もの金貨を得ることができるというのが正解となります(5人の場合)

 これまでもいくつか見てきましたように、或る設問をさらに突っ込んで深く考えてみると、地頭力を一層働かすことができるような深遠でスマートな問題を創造することができるというサンプルです。
 そこで余裕のある方は、オリジナルの条件で、今度は海賊500人が100枚の金貨を全員投票で分ける場合をやってみてください。ただ単に2人目から順番にやっていくというだけでは金貨枚数が足らなくなった時点で問題が出てきますから、簡単にはいきません。

 さて、少々スペースを取ってしまいましたが、では次の設問の解説に移ります。

問題 設問52 オーナーであるあなたの会社で、従業員の一人が金の地金による日払いで給料を払ってほしいと言っています。あなたは、この従業員の7日分の給料に相当する金の延べ棒を持っており、その延べ棒にはすでに7等分の切れ目が入っています。延べ棒を2カ所だけ切断できるとして、1日が終わるごとにこの従業員と精算しなければならないとしたら、どうしますか。
金の延べ棒:7等分の切れ目
分断の組み合わせ

 7等分の切れ目が入っている延べ棒を2ヵ所で切断するとしたら、一体、どれだけ違う組合せの分断ができるか。結果は図1のように、7等分の一片のものが2つと、5片つながりのものが1つとなるケース1、そして一片のものが1つと、2片つながりのものが1つ、4片つながりのものが1つとなるケース2、さらに一片のものが1つと、3片つながりのものが2つとなるケース3、そして2片つながりのものが2つ、3片つながりのものが1つとなるケース4という4種類だけです。

 この4種類の分け方のうち、どれを使ったとしても毎日1片ずつの断片を従業員に渡すことができないのは明らかです。だから、毎日1片ずつ相当の価値を渡し、さらに7日を終わった時点でこの延べ棒を全部渡し切る方法を考えよということであれば、どうしても或る方法しかありません。
 それは「お釣り」をもらいながら行うという方法です。もちろん「お釣り」といっても、この延べ棒だけを使ってという条件です。この場合、事前に面接官に対して「従業員が毎日もらった延べ棒を自分で勝手に使ってしまわない」ということを確認して始めなねばなりません。

 そこで「お釣り」をもらうということで考えます。従業員には初日から順に7日まで、延べ棒1片を1単位として、毎日1単位ずつ渡せるような分け方を考えればよいわけです。つまりこの設問は、4種類の分け方でできる単位を使い、その加減算の結果、毎日1単位ずつ渡す格好にできるのはどの分け方か、という問題と同じことになります。


式を使った3種類の分け方による延べ棒の渡し方

 加減算で・・・となれば、もはや数式を考えればできるはずです。分け方で1単位の断片もできないケース4は最初から除外です。そこで残る3ケースで、従業員に渡す断片とその手元に残る断片(青色)と、そのときのお釣りとなる断片(赤色)を、数式に展開し、どこまでできるかをやってみればわかります。
 その結果は表のようになり、途中で1単位を作り出せなくなるのがケース1とケース3で、ケース2だけが残ることがわかります。

 当設問の背景は、お釣りをもらうという考え方も含めて、毎日渡す1単位のものをどのようにして作ればいいかという論理思考のスピードを見ようというものです

 それでは正解です。


正解 正解52 延べ棒を1、2、4単位の断片に分かれるよう2ヵ所に切れ目を入れる。初日はその1単位の断片を従業員に渡す。2日目、手元の2単位の断片を渡し、初日に渡した1単位の断片を返してもらう。3日目、その返してもらった1単位の断片を渡す。4日目、手元の4単位の断片を渡し、すでに渡している1と2単位の断片を返してもらう。5日目、返してもらった1単位の断片を渡す。6日目、返してもらっている2単位の断片を渡し、1単位の断片を戻してもらう。7日目、戻っているその1単位の断片を渡す。

 それでは、やはりその設問の背景を考えながら、次の問題をやってみてください。


問題 設問53 目の前に3つの宝石入れの箱があって、中身は見えない。その1つには高価なダイヤモンドが入っているが、あとの2つの箱には石ころしか入っていない。あなたはそのうちの1つをもらえることになった。そこであなたは1つを選んだが、その箱を開ける前に、何かの拍子で残り2つの箱のうち1つが床に落ち、中から石ころが出てきてしまった。そこであなたは最初に選んだ箱をそのまま選ぶか、それとも床に落ちなかった残りの箱に変えるか、どうしますか。


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 ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? (Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. )By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。
 また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。

執筆者紹介


執筆者 梶谷通稔
(かじたに みちとし)

テレビ出演と取材(NHKクローズアップ現代、フジテレビ、テレビ朝日、スカパー)

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