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その85

ルール次第で、思わぬ結果が出てくる

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 前問の帽子をかぶった生徒の問題は、論理的に導ける解答とアナログ的思考による解答の2つがありました。いずれの解答も残念ながらという方もおられたかと思いますが、論理的な思考での解答は、不可能と感じたとき「それができなければ解けない」と考えることが突破口になりました。

 その問題では、2つの言葉だけで4つを判別せよということは不可能だが、何とかその4つを、2つの場合に凝縮した伝え方ができれば解けると考えたときに、初めて偶数と奇数の2つの場合という突破口のアイデアが見つかりました。
 この思考で参考になるところは「それができなければ解けない」とする究極の問いが、2つを判別するような問題に代えることができれば解ける、という解答への重要な手がかりになるということでした。

 もう1つのアナログ的思考は、論理思考人間がおうおうにして陥り易い点で、設問19のケーキを二分する問題や設問28の列車と鳥の問題と同様に、むしろ論理思考には汚されていない無垢の頭のほうが思いつく解答ということです。
 また同時に、この前問は前々問の給料の設問と同様、1つの解答ができたからといって安心してはならないという戒めの問題でもあるということです。

 それでは、今号の設問はいかがでしょうか。

問題 設問85  ここに3枚のふだがあり、裏返しに置かれています。ふだの表側にはそれぞれ違った数字が書かれています。そこでゲームを始めます。まず3枚のうちどれか、1枚目のふだをめくって表を見ます。もしもその数字が一番大きいと思えばそのふだをとっておきます。そう思わなければ、そのふだを捨てて2枚目のふだをめくって数字を見ます。そこでその数字が一番大きいと思えばそのふだをとっておきます。そう思わなければ、そのふだも捨てて、3枚目のふだをめくりこれをとっておきます。このようなやり方で手元にとっておいたふだの数字が3枚のふだの中で一番大きければ、あなたの勝。そうでなければ、あなたの負けです。一番大きな数字の書かれたふだを選ぶにはどうすればいいでしょう。

3枚の札

 まず設問の理解です。3枚のふだがあって、それぞれふだの表には違った数字が書いてあるわけですが、問題はそれらが見えないように伏せてある状態の中で、あなたがその一番大きな数字の札を選ぶにはどうすればいいのか?というものです。

 「そんなことができるのか」というのが、最初に思う率直な感想ではないでしょうか。というのも、あなたはそれら3つの数字がどんな数なのか具体的に知らないという、つまり一番大きな数字自身すらわからない状態でそれを当てよ、というわけです。
 たしかにそれが当るのは3つのうちの1つですから、普通に考えればその確率は1/3ですが、100%でそれを当てる方法などがあるのか、ということです。

 しかしこの設問では、伏せてある札3つのうちの1つを、ただやみくもに選ぶということではなく、選択肢としては最大2つまではその数字を見ることができるルールになっています。
 このルールのもとで、はたして100%でそれを当てることができるようになるのか、ということですが、とにかく一番大きな数字の札を当てるにしても、全部の数字を知らない限りは、最低限必要なそれらの大きさを比較することができないわけです。

 したがってこの設問の設定によれば、とにかく全部の札を見ることはできない以上、100%確実にそれを当てることなどはできない、ということになります。
 しかしそれが解答だとすると、そもそも長々とした設問文まで作って、わざわざ面接試験として出題する意味がありません。

 とすると、この設問は100%勝つための方法ではなく、勝率を求める確率の問題なのではないか、ということになります。
 しかし前述のように、一番大きな数字自身がわかっていない以上、どんな方法を取ろうと最終的に3つのうちの1つを当てるという問題には変わりなく、その確率は1/3でしかないのでは・・・と、スタートポイントに戻ってしまいます。

 ここまでくると、ずっと以前からこの連載を愛読されている皆さんの中で、モンティ・ホールという名でよく知られている問題を思い出された方もおられたのではないかと思います。つまりそのやり方、あるいはルール次第では、普通に考えられる確率とは違った確率が出てくる、という問題です。

 当連載では設問53がそれに該当します。そこでは、普通に考えるとどうしても確率は1/3になるのですが、連載その54で詳しく補足解説しているように、はずれがわかっている箱を意図して落とすということを知っているか知らないかによって、確率の分母となる起こりうる全体の事象数が変わってくるため、確率も違ったものになる、というものでした。
 したがって当設問85も、そのやり方やルール次第では、普通に考えられる確率とは違ったものになるのではないか、ということなのです。はたしてそうなのか。

 これまで設問の中で設定されている人数や対象物の数が多い場合には、その対処法として人数などの数を減らしたり、極端なケースでまずやってみるというのが定番でしたが、幸いこの設問では対象となっている札の枚数がすでに少ない状態になっていますから、すぐにやれそうです。
 そこで、実際に具体的な数字を仮定してやってみることにします。たとえば3枚の札に書き込まれている数字を、10、50、100としますと、めくる順番で出る全部の組合せは、以下の6通りしかありません。

札と組み合わせ

 そこで、とにかく無条件に最初の1番目の札をとっておいた場合には、この6通りの中で、組合せの5と6の2つで勝つことができます。つまり勝率は2/6=1/3です。(図1)
 以下、無条件に2番目の札、3番目の札をとっておいた場合も同様、1/3の勝率ですが、ここで無条件に最初の1番目の札を捨てた場合がこの設問のポイントになるところで、最初と2番目の2枚の札を見てから、2番目の札をとっておくかどうかの選択ができるというところです。
 もしもここで数字の大小にかかわらず、2番目の札をとっておかないとすると、無条件で3番目の札をとっておくことと同じことになります。

図1

 そこで気づかれると思いますが、この時点での選択方法は2つしかないということです。つまり最初と2番目、この2つの札の数字と比べて、もしも2番目の数字が大きい場合には、その2番目の札をとっておくというケースAか、その逆に小さい場合にそれをとっておくケースBか、この2つの選択肢だけです。
 しかしケースBは、小さな数字の書かれた札をとっておくことになるので、少なくとも一番大きな数ではないわけですから、そこで負けが決まることになり、これは除外します。

 では、このケースAを6通りの組合せに当てはめた場合の勝ち負けを見てみます。すると図2のようになり、結果、その勝率は3/6=1/2となって、普通に考えた場合の1/3とは違った結果をもたらすことになることがわかります。

図2

 ですから、普通に考えれば1/3の勝率になるように思えるこの設問も、2番目の札を見たときに、それが最初の札の数字よりも大きい場合にとっておくとすれば、その勝率は1/2に上がる、ということです。
 ここまで3つの数字を10、50、100と仮定して見てきましたが、たとえ他の数字だとしてもその3つがそれぞれ違った数であれば、結果は同じになることは説明するまでもないと思います。

 この設問の背景は、3つの札の数字全部を比較できる状態になければ、その中で一番大きな数字の書かれている当該の札を100%当てることは不可能である、と早くから判断し、これまでの連載で見てきたように直感的で普通に考えられるよな確率はおうおうにして間違いだということをしっかりと認識した上で、一層深く掘り下げた考え方ができるような資質の持ち主かどうかを見ようとしているものです。

 それでは設問85の解答です。


正解 正解85  普通に考えれば、どの札をとっておいてもその勝率は1/3になりそうだが、次のようにすれば、その勝率は1/2に上がる。つまり、最初の札の数字を見たとき、それがどんな数であっても無条件に捨てる。次に2番目の札をめくったとき、その数が最初の札の数より大きければとっておき、小さければ捨てて3番目の札をとっておく。

 では、その出題背景を考えながら、次の設問を考えてみてください。


問題 設問86  時計の長針と短針は、1日に何回90度をつくるでしょう。


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 ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? (Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. )By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。
 また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。

執筆者紹介


執筆者 梶谷通稔
(かじたに みちとし)

テレビ出演と取材(NHKクローズアップ現代、フジテレビ、テレビ朝日、スカパー)

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