コーエキット 会社パック
連載

あなたはビルゲイツの試験に受かるか?
バックナンバー
ウェブアプリケーション開発

その87

設問の中にある「特別な言葉」が糸口になる

前号へ
  次号へ

 1日24時間のうちで、長針と短針が重なる回数は?時計の長針と短針は、1日に何回90度をつくるか?といった時計の問題はしばしば直感がわざわいして間違いやすいため、よく試験問題で出されます。
 特に解答に至るスピードを見ようとする場面であったなら、なおさら頻繁に間違ってしまうものです。

 設問82や前問はそれに類する問題でしたが、簡単ですぐに解けそうな問題には、特に注意深く取り組むことが必要で、日頃の訓練が大切です。
 また、何時何分のときの長針と短針の角度はどれだけか?といった問題もしばしば出題されますが、時計の問題はあわてず落ち着いて解けるよう、やはり慣れておくことが大事です。

 それでは、今号の設問はいかがでしょうか。

問題 設問87  17頭のラクダを3人の息子で分けるようにと、遺言書を残して年老いたアラブ人の父が亡くなりました。しかし遺言にしたがってラクダを分けようとした息子たちは、途方にくれることになりました。遺言には、長男に半分、次男に1/3、三男に1/9のラクダを与える、とあったからです。遺言どおりに分けようとしても、整数では割り切れないのです。3人が困り果てているところに、ちょうどラクダに乗って1人旅をしている数学者のおじいさんが通りかかりました。息子たちがこのおじいさんに相談すると、ラクダを傷つけることなく、3人の息子たちが不満に思うこともなく分ける方法を教えてくれました。このおじいさんは、どうやって遺言どおりにラクダを分けたのでしょうか。

3人の息子

 どの息子たちの配分にしても遺言どおりに分けるとすると、ラクダを断片にしないかぎり、17頭を半分にも、あるいは1/3にも、1/9にもできません。ラクダを傷つけることなく、3人の息子たちが不満に思うこともなく分ける、そんな方法などがあるのか。
 まずはそんな疑問をいだきながら、舞台がアラビアの話なので、アラビアンナイトの魔法のランプでも使って……などという構想が、ちらっと浮かんだ方たちもおられたかもしれません。しかし、当連載の入社試験問題は、あくまでも論理思考で解く設問が中心です。

魔法のランプ

 これまで見てきた当連載の思考を要する問題には、必ずどこかにその手がかりや糸口、突破口があって、その着眼点を探ることで正解に至る必然性の道が開けました。
 ではこの設問87のどこに、その手がかりや糸口、突破口があるのか。
 そこでよ〜く問題を読んでみると、どうもこの場面からは違和感を感じるものが出てきていることに気付かれると思います。その方たちは解答に一歩近づいたことになります。
 その違和感を感じさせる特別なものとは「数学者」という言葉です。これが手がかりというわけです。

 ラクダを17頭も持っているということは、どう考えてもこの父親はラクダの遊牧主かキャラバンの隊長的な存在です。ですからその家族である息子たちも父親の世界とあまり変わらない環境で育ってきているはずです。
 そんな背景の中で、それとは別世界とも思われる「数学者」という言葉が、突然、出てくることから、そこに違和感を感じても不思議ではありません。

ラクダと旅人

 さらにそれに付随して、「ラクダに乗って1人旅をしている」という表現にも何かあると気が付いた方は、またその先一歩近づいたことになります。
 それはなぜか。ではこれらが、なぜ手がかりや糸口、突破口となるのか、以下順次、見ていくことにします。

 まず「数学者」という言葉から、この問題を数学の専門家の目で見れば、数学的に解けますよ、ということを意図的に示唆している点、それが手がかりということです。
 そこで数学という観点から、この設問に出てくる「数」を見てみますと、17頭の17、半分の1/2、それから1/3、と1/9です。つまり17、1/2、1/3、1/9がすべてです。
 そして次に数学の基本的な部分に入ります。それはこの中の分け前の部分です。本来3人の分け前を全部足したら1にならなければならないのに、1/2+1/3+1/9=17/18となって、1にはならないのです。つまり1/18の余りが出てしまうということです。
 遺言通りだと、17頭の1/18、つまり17/18頭分が余りになってしまうのです。

ラクダと息子

 ですから、もともとその遺言は余りが出るような数だったわけで、17頭を過不足なくぴったりと分けられるような数ではなかったということです。
 でもその遺言には、余りのことなど何も言及していませんから、断片にして分けることができるならそれでもいいかもしれませんが、この設問ではラクダを傷つけることなく、3人の息子たちが不満に思うこともなく分ける方法が課題です。
 そこで3人の分け前を足した17/18という「数」を見て、ピンときた人は解答へとまっしぐらのはずですが、そうでない人のためにその理由を少々説明します。

 まず、ラクダを傷つけることなくするためには、3人の分け前である1/2、1/3、1/9でラクダの頭数が割り切れなければならないと考えるわけです。これが糸口となって、そこから道が開けてくるということです。
 そこで分母の2、3、9で割り切れる数として、小学校5年の基本的な算数に出てくる最小公倍数を思い出していただくと、その「数」は18です。
 したがって、ラクダを傷つけることのない頭数は18、つまり18頭いればいいことになります。前述した17/18という「数」を見てピンときた人とは、この分子が18ならば割り切れると理解した人です。

ラクダ17頭

 つまり息子たちのラクダ以外に、もう1頭いれば割り切れるということです。
ここに至り、「数学者」と「ラクダに乗って1人旅をしている」という設問の言葉が意味を持ってくることがおわかりになると思います。
 そうです。この数学者である旅人のおじいさんは自分の乗ってきたラクダ1頭を息子たちのラクダに加え、18頭にして計算したのです。

 その結果、半分の長男は9頭、1/3の次男は6頭、1/9の三男は2頭で合計17頭となって、遺言通りに分けることができ、また一方、自分の1頭も息子たちにあげるわけではなく、ちゃんとそのまま自分のラクダとして返ってきます。
 もともとなすすべもなく途方に暮れていた3人です。それがすっきりと分けられ、しかもおじいさんに迷惑をかけたわけでもないので、息子たちは大満足のはずです。

宮殿

 そこで不思議に思う人があるかもしれません。おじいさんのラクダ1頭を加えて計算し、3人の取り分として組み込まれているはずなのに、分けたあとでそれがまた、なぜそっくりそのまま1頭のラクダとしておじいさんに返ってくるのかと。
 それは余りの17/18頭分を考えればわかります。これは先ほど見た3人の取り分比率の合計1/2+1/3+1/9=17/18と同じです。

 つまり余り分として、3人はそれぞれ1/2頭分、1/3頭分、1/9頭分を取れば、過不足なくすっきりと分けられるということなのです。
 たとえば長男でしたら、もともと自分の取り分である17頭の半分の17/2頭に、この余りの取り分1/2頭を足して17/2+1/2=9頭となり、同様に次男の場合は17/3+1/3=6頭、三男は17/9+1/9=2頭となるわけです。

 しかし厳密に言えば、この方法は父親の遺言を忠実には反映していません。というのも、実際3人は、余りの取り分だけ遺言よりも多くもらっているからです。
 ですが、遺言には余りのことには何も触れていないので、それを悩める3人の息子たちがこのような納得のいく比率で分けても構わないでしょう。

旅人とラクダ

 これで設問文に違和感を感じる数学者が出てきた背景もおわかりだと思います。彼は分数や小数点以下の数値で分けることなく、1頭ずつもらえるように余った17/18頭分を数学的に分けただけという結果なのです。
 数学者の彼は、その結果をあらかじめ知っていて、ラクダの数を便宜上18頭にして計算すれば誰にでもわかりやすく、簡単に同じ結果が出せる、とわかっていたということです。

 この設問の解答として、長男は9頭、次男は6頭、三男は2頭と答えれば正解なのですが、これだけでは面接官としてまだ不満が残るはずで、余りの取り分にたいして、前述のような説明をすれば万全の合格となるはずです。

 この設問の背景は、設問文を注意深く読んで、数学者という言葉に注視できたかどうか、またさらに遺言通りに分けるとすると余りが出ることに早くから気づき、ラクダを傷つけることなく分けるためには、最小公倍数の頭数がヒントをくれるとの考えに至ったかどうか、さらには余りを使えば解決できるとの数学的な考えに至ったかどうか、そのへんの資質と能力を見ようとしているものです。

 それでは設問87の解答です。


正解 正解87  数学者のおじいさんは自分の乗ってきたラクダ1頭を、息子たちの17頭に加え、遺言で指示されている比率で分けて、長男は9頭、次男は6頭、三男は2頭とした。遺言通りに分けるとすると、1/2+1/3+1/9=17/18となって合計が1にならず1/18余ることになる。つまり、17頭で17/18頭分の余りが生ずる。しかしこれはちょうど当初の配分1/2+1/3+1/9=17/18と同じになることから、遺言の比率で各息子に分けたあとで、余りをこの配分でそれぞれに分ければよいことになる。つまり長男は17頭の半分17/2に、余りの配分1/2を加えて18/2=9頭、次男は17頭の1/3の17/3に、余りの配分1/3を加えて18/3=6頭、三男には17頭の1/9の17/9に、余りの配分1/9を加えて18/9=2頭とした。おじいさんはあらかじめこの余りの数学的な配分を知っていて、結果として余った17/18頭分を分けただけになるが、より簡単で誰にでもわかりやすい配分の方法として、便宜上、自分のラクダ1頭を加えて同じ結果を導いたことになる。実際息子たちは、余りの取り分だけ遺言よりも多くもらうことになるが、遺言には余りのことには何も触れていないので、途方にくれていた息子たちがこのような形で分け与えられれば、充分納得がいき満足するはずである。

 では、その出題背景を考えながら、次の設問を考えてみてください。


問題 設問88  ひつじとシープドッグ(牧羊犬)を合わせて200匹が飼われている羊牧場があります。その99%は羊です。では、この牧場にいる羊を98%にするには、何匹の羊をそこから取り除けばいいでしょう。ただし、方程式などを使わないで2つ以上の方法を答えてください。


前号へ   次号へ


 ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? (Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. )By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。
 また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。

執筆者紹介


執筆者 梶谷通稔
(かじたに みちとし)

テレビ出演と取材(NHKクローズアップ現代、フジテレビ、テレビ朝日、スカパー)

出版

連載

新聞、雑誌インタビュー 多数

※この連載記事の著作権は、執筆者および株式会社あーぷに帰属しています。無断転載コピーはおやめください

Page top